Sind f und g injektiv so auch?

Inhaltsverzeichnis:

1. Sind f und g injektiv so auch?
2. Sind f und g injektiv so auch g ◦ f?
3. Sind f und g injektiv so ist auch G F Bijektiv?
4. Wann ist eine Funktion nicht Surjektiv?
5. Ist g ◦ f surjektiv so ist f surjektiv?

Sind f und g injektiv so auch?

Ist g ◦ f injektiv, so ist auch f injektiv. Voraussetzung: g ◦ f ist injektiv, d.h., für alle x, ˜x ∈ X mit g(f(x)) = g(f(˜x)) gilt x = ˜x. Zu zeigen: Für x, ˜x ∈ X mit f(x) = f(˜x) gilt x = ˜x. Beweis: Seien also x, ˜x ∈ X mit f(x) = f(˜x).

Sind f und g injektiv so auch g ◦ f?

Beide Abbildungen sind injektiv, also ist auch die Verknüpfung injektiv: g ◦ f ◦ f−1 = g, da f ◦ f−1 die Identität ist. Damit ist g injektiv. Zu (6): Zunächst gilt nach Aussage (2), dass, wenn g ◦ f surjektiv ist, g surjektiv ist. Damit ist g eine bijektive Abbilung also bijektiv umkehrbar.

Sind f und g injektiv so ist auch G F Bijektiv?

Da auch f nach Annahme surjektiv ist, existiert auch ein a ∈ A, sodass f(a) = b. Also gilt g(f(a)) = c und daher nach Definition der Komposition (g ◦ f)(a) = c. Somit ist g ◦ f surjektiv. Bijektivität: Da g ◦ f nicht injektiv ist, ist g ◦ f auch nicht bijektiv.

Wann ist eine Funktion nicht Surjektiv?

Beispiele. ∙ In Abbildung 12.

Ist g ◦ f surjektiv so ist f surjektiv?

surjektiv. Aus der Surjektivität von g folgt, dass es für jedes z ∈ Z ein y ∈ Y gibt, sodass g(y) = z. ... Insgesamt existiert somit also für jedes z ∈ Z ein x ∈ X mit z = g(y) = g(f(x)), weswegen g ◦ f ebenfalls surjektiv ist.