Wie funktioniert integrieren?

Inhaltsverzeichnis:

1. Wie funktioniert integrieren?
2. Wie integriere ich?
3. Was geben Stammfunktionen an?
4. Was versteht man unter einem Integral?
5. Warum kann man mit der stammfunktion die Fläche berechnen?
6. Wie berechnet man den orientierten Flächeninhalt?
7. Wie berechnet man die Fläche unter einer Parabel?
8. Was sagt die Fläche unter einem Graphen aus?
9. Was versteht man unter flächenbilanz?
10. Wie berechnet man die Fläche zwischen zwei Graphen?
11. Kann eine Fläche negativ sein?
12. Wann ist ein Integral gleich Null?
13. Was ist der Wert des Integrals?
14. Was ist die Differenzfunktion?
15. Wie berechnet man die flächenbilanz?
16. Wie berechnet man den Inhalt einer Fläche?
17. Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Kreises mit dem Durchmesser?

Wie funktioniert integrieren?

Beim Integrieren gehen wir in die umgekehrte Richtung. Wir haben eine Funktion und integrieren diese. Das Ergebnis ist eine Stammfunktion....Dabei wird hier zunächst eine Konstante integriert:

1. f(x) = 2 und damit F(x) = 2x + C.
2. f(x) = 5 und damit F(x) = 5x + C.
3. f(x) = 8 und damit F(x) = 8x + C.

Wie integriere ich?

Stammfunktion bilden Eine Funktion F ist eine Stammfunktion einer Funktion f, wenn für alle x ∈ D gilt: F'(x)=f(x). Die Umkehrung des Ableitens ist das Bilden von Stammfunktionen und wird deshalb auch umgangssprachlich Aufleiten genannt.

Was geben Stammfunktionen an?

Als Stammfunktion einer Funktion bezeichnet man eine differenzierbare Funktion deren Ableitungsfunktion [mehr dazu] mit übereinstimmt. Man sagt Stammfunktion, wenn man eine konkrete Stammfunktion meint und unbestimmtes Integral, wenn man die Gesamtheit aller Stammfunktionen, .

Was versteht man unter einem Integral?

Das Integral ist ein Oberbegriff für das bestimmtes und unbestimmtes Integral. Ein bestimmtes Integral liefert einen Zahlenwert, während ein unbestimmtes Integral eine Funktion liefert. ... Das bestimmte Integral berechnet nämlich die Fläche zwischen dem Graph einer Funktion und der x-Achse.

Warum kann man mit der stammfunktion die Fläche berechnen?

Das Konzept der Stammfunktion ist eine Rechenhilfe zur Berechnung von Integralen/Flächen dank dem Hauptsatz der Integralrechnung. Es gibt stets auch eine Stammfunktion F(x), die die Fläche unter f von 0 bis x beschreibt. Für diese muss gelten F(0) = 0.

Wie berechnet man den orientierten Flächeninhalt?

Zerlegt man die Fläche, die der Graph einer (integrierbaren) Funktion f über dem Intervall [ a ; b ] einschließt, in positive und negative Normalflächen (d.h., in Teilflächen oberhalb und solche unterhalb der x-Achse) und bildet die Summe der einzelnen Flächeninhalte, wobei der Inhalt der Flächen unterhalb der x-Achse ...

Wie berechnet man die Fläche unter einer Parabel?

Lässt man die Anzahl n der Streifen gegen Unendlich gehen und somit die Streifenbreite gegen Null, so geht An gegen (1/3)x1³. Das ist der Flächeninhalt unter der Parabel. Für das Parabelsegment ist dann A=(2x1)x1²-(2/3)x1³=(4/3)x1³.

Was sagt die Fläche unter einem Graphen aus?

Mit einer Fläche unter dem Funktionsgraphen ist immer das Flächenstück gemeint, welches der Funktionsgraph mit der x-Achse einschließt. Du wirst dabei wiederholen, wie man das bestimmte Integral über einem bestimmten Intervall berechnet.

Was versteht man unter flächenbilanz?

Im Allgemeinen ist das Integral nur die Flächenbilanz, also die Differenz von der Fläche oberhalb der x-Achse und der Fläche unterhalb der x-Achse. ... Die einzelnen Flächen werden dann betragsmäßig addiert; die Maßzahl nicht orientierten Flächeninhalts ist immer positiv.

Wie berechnet man die Fläche zwischen zwei Graphen?

Flächenberechnung - Schritt für Schritt Dabei sind s1 und s2 die Schnittpunkte der beiden Graphen. Die Schnittpunkte zweier Graphen berechnet man, indem man die Funktionen gleichsetzt. Die beiden Schnittpunkte sind dementsprechend s1=−1 s 1 = − 1 und s2=+1 s 2 = + 1 .

Kann eine Fläche negativ sein?

Flächen oberhalb der x-Achse sind positiv, Flächen unterhalb der x-Achse sind negativ. Orientierte Fläche bedeutet: Liegt die Fläche oberhalb der x-Achse, so ist das bestimmte Integral positiv. Liegt die Fläche unterhalb der x-Achse so ist das bestimmet Integral negativ.

Wann ist ein Integral gleich Null?

Der Wert des bestimmten Integrals wird 0, wenn die eingeschlossenen Flächeninhalte über und unter der x-Achse genau gleich groß sind. als Summe von Produkten . Gleichen sich die positiven und negativen Funktionswerte aus, so ergibt die Summe insgesamt 0.

Was ist der Wert des Integrals?

Den Wert eines bestimmten Integrals über eine Funktion f berechnet man, indem man ihre Stammfunktion an den beiden Integrationsgrenzen auswertet und die Differenz der beiden bildet ("obere Grenze minus untere Grenze"). Die Konstante C, die in der allgemeinen Stammfunktion steht, fällt hierbei weg (hebt sich auf).

Was ist die Differenzfunktion?

Man kann Funktionen f(x) und g(x) addieren, subtrahieren, multiplizieren oder (mit Einschränkungen) durcheinander teilen, indem man jeweils die Rechenoperation für jedes x einzeln ausführt – in diesem Sinne ist die Differenzfunktion von f(x) und g(x) die Funktion d(x) = f(x) – g(x).

Wie berechnet man die flächenbilanz?

Man kann sich die zweidimensionale Aufnahme eines Eisbergs vorstellen: von der Fläche oberhalb der Wasseroberfläche wird die – i.d.R. größere – Fläche unterhalb der Wasseroberfläche abgezogen, die Flächenbilanz wäre dann negativ. Würde man hingegen den Flächeninhalt berechnen, würde man beide Flächen addieren.

Wie berechnet man den Inhalt einer Fläche?

Der Flächeninhalt eines Rechtecks bzw. die Fläche eines Rechtecks ergibt sich aus der Multiplikation Länge mal Breite. In der Formel werden dabei oft die Variablen a und b verwendet, die Fläche wird mit A abgekürzt: Fläche = Länge · Breite.

Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Kreises mit dem Durchmesser?

ganz leicht die Kreisfläche berechnen. Einfacher geht nicht. Verwendet man statt des Radius den Durchmesser des Kreises, dann wäre wegen des Zusammenhangs r = d/2 die dazugehörige Kreisflächen-Formel A = π/4 * d2.