Warum ist die leere Menge offen und abgeschlossen?

Inhaltsverzeichnis:

1. Warum ist die leere Menge offen und abgeschlossen?
2. Sind abgeschlossene Mengen beschränkt?
3. Ist R n kompakt?
4. Was ist eine kompakte Funktion?
5. Warum ist die Menge der ganzen Zahlen gegenüber der Division nicht abgeschlossen?
6. Wann ist eine Gruppe abgeschlossen?

Warum ist die leere Menge offen und abgeschlossen?

Eine leere Menge hat keine Randpunkte, weil sie ja keine Elemente enthält. Und da sie keine Randpunkte hat bzw. keinen Rand, kann man sagen behaupten, dass sie offen ist. Sie hat aber auch (da eben leer) keine inneren Punkte, so dass sie abgeschlossen sein muss.

Sind abgeschlossene Mengen beschränkt?

Kompakte Mengen sind abgeschlossen und beschränkt. Dabei heißt eine Teilmenge K eines normierten Raums beschränkt, falls ein C ≥ 0 existiert mit ∥x∥ ≤ C für alle x ∈ K. x0. ... (a) Abgeschlossene Teilmengen kompakter Mengen sind kompakt.

Ist R n kompakt?

Eine Menge A ⊂ Rn heißt beschränkt, falls sup{x; x ∈ A} < ∞ ist. Eine einfache Charakterisierung kompakter Mengen in Rn gibt der Satz von Heine-Borel. ... (Satz von Heine-Borel) Eine Menge K ⊂ Rn ist kompakt genau dann, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist.

Was ist eine kompakte Funktion?

Das Bild einer kompakten Menge unter einer stetigen Funktion ist kompakt. ... Eine abgeschlossene Teilmenge eines kompakten Raumes ist kompakt. Eine kompakte Teilmenge eines Hausdorff-Raumes ist abgeschlossen (jeder metrische Raum ist ein Hausdorff-Raum).

Warum ist die Menge der ganzen Zahlen gegenüber der Division nicht abgeschlossen?

Wie bereits gesehen, ist die Menge der ganzen Zahlen ℤ bezüglich der Division nicht abgeschlossen, d.h. das Ergebnis einer Division ganzer Zahlen muss nicht in ℤ liegen. ... Es ist daher sinnvoll, die Menge der ganzen Zahlen um die Menge aller Divisionsergebnisse, d.h. um die Menge aller möglichen Brüche a/b, zu erweitern.

Wann ist eine Gruppe abgeschlossen?

Ein Paar (G, ∗) mit einer Menge G und einer inneren zweistelligen Verknüpfung ∗: G G → G, (a,b) ↦ a ∗ b heißt Gruppe, wenn folgende Axiome erfüllt sind: Abgeschlossenheit: Für alle Gruppenelemente a und b gilt: (a ∗ b) ∈ G Assoziativität: Für alle Gruppenelemente a, b und c gilt: (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c).