Wann ist ein metrischer Raum vollständig?

Inhaltsverzeichnis:

1. Wann ist ein metrischer Raum vollständig?
2. Ist R vollständig?
3. Ist jede konvergente Folge eine Cauchy Folge?
4. Was ist ein Antagonismus?
5. Was ist eine Inkonsistenz?

Wann ist ein metrischer Raum vollständig?

Ein metrischer Raum (X, d) heißt vollständig, falls jede Cauchy-Folge in X konvergiert. Für vollständige Räume lässt sich leicht nachprüfen ob ein Folge konvergiert, indem man prüft ob sie eine Cauchy-Folge ist, ohne dabei den Grenzwert betrachten zu müssen.

Ist R vollständig?

ℝ ist gegeben als vollständiger angeordneter Körper. Vollständigkeit wurde so definiert: Jede nach oben beschränkte Teilmenge besitzt ein Supremum.

Ist jede konvergente Folge eine Cauchy Folge?

Die Folge (an)n∈N ist eine Cauchyfolge. Im allgemeinen gilt aber nur, dass jede konvergente Folge eine Cauchyfolge ist. (Bei dem Beweis dieser Richtung gingen nur die Abschätzungen des Abstandes zweier Folgenglieder zum Grenzwert der Folge und die Dreiecksungleichung ein.) Die Umkehrung gilt nicht!

Was ist ein Antagonismus?

Antagonismus m. 'Gegensatz, Gegnerschaft', wörtlich 'Widerstreit', denn das zugrundeliegende Verb griech. antagōnízesthai (ἀνταγωνίζεσθαι) bedeutet 'gegeneinander kämpfen, miteinander rivalisieren'.

Was ist eine Inkonsistenz?

Inkonsistenz (v. lat. in- „nicht“, con- „zusammen“, sistere „halten“) bezeichnet einen Zustand, in dem mehrere Dinge, die als gültig angesehen werden sollen, nicht miteinander vereinbar sind. Die Konsistenz ist der gegensätzliche Begriff dazu.